Nabitá koule s dielektrickým pláštěm

Představme si, že místo vodivého povrchu, tak jak tomu bylo v minulém příkladu, je koule nyní vyplněna dielektrikem s konečnou permitivitou. Podle Gaussovy věry musí platit pro elektrickou indukci na libovolném poloměru vztah:

Náboj Q je celkový volný náboj, který je uzavřený do obalové plochy vedené daným místem. Budeme-li počítat elektrické pole uvnitř dielektrické koule pro poloměry r ≤ a, obalíme do pomyslné sférické plochy část volného náboje o velikosti:
.

Elektrická indukce D uvnitř bude:

Pro intenzitu elektrického pole uvnitř koule bude platit:
.

Analogicky pro r ≥ a, tedy na povrchu a vně dielektrické koule, obemkne obalová plocha celý náboj a pro elektrickou indukci bude platit:
, pro intenzitu elektrického pole:
.

Stejný postup lze využít i pro vypočet potenciálu. Lze postupovat i opačně - tedy z vnějšku koule dovnitř, více viz [1].

Obr. 1: Elektrické pole kolem koule s dielektrickým pláštěm, zdroj: [2]

Obrázek 1 zobrazuje kouli nabitou na 1e^-7 C o poloměru 2.5 cm, která je obalena vrstvou pláště o poloměru 5 cm. Plášť je vyroben z křemičitého skla s relativní permitivitou 2.01. Elektrické pole je sledováno na vzdálenost 20 cm. Barevně je zobrazen elektrický potenciál a šipky ukazují směr intenzity elektrického pole. Prostorové rozložení potenciálu je na následujícím obrázku č.2.

Obr. 2: Elektrický potenciál kolem koule s dielektrickým pláštěm, zdroj: [2]

Průběh potenciálu v závislosti na radiální vzdálenosti od středu koule je zobrazen na obr.3, přičemž je vhodné si povšimnout zlomů v místech, kde se mění materiál (dielektrikum). Na obr. vpravo se situace opakuje, avšak tentokrát pro elektrickou intenzitu.

Obr. 3: Elektický potenciál ve vzdálenosti od středu, zdroj: [2]	Obr. 4: Elektická intenzita ve vzdálenosti od středu, zdroj: [2]

Jako v případě potenciálu je na grafu zlom na rozhraní. Aby nebylo nutné uvažovat vliv permitivity, tak se zavádí veličina elektrická indukce. V tomto případě se studují pouze jevy způsobené volnými náboji. Vázané náboje generované v materiálech se neuvažují. Elektrická indukce je popsána známou rovnicí:
.

Jde o rovnici hyperboly druhého stupně, podobně jako u intenzity. Indukce je na prostředí nezávislá (viz obr. 5). Neláme se ani na rozhraní. Pro posouzení vlivu vázaných nábojů je účelné zavést ještě jednu veličinu. Tou je elektrická polarizace a uplatňuje se pouze v materiálech. V jednoduchých výpočtech polarizaci v podstatě neuvažujeme a zahrneme ji do relativní permitivity.

Obr. 5: Elektická indukce ve vzdálenosti od středu, zdroj: [2]	Obr. 6: Elektická polarizace ve vzdálenosti od středu, zdroj: [2]

Jak vidíme z obrázku 6, je polarizace mimo dielektrický plášť skutečně nulová. Fyzikálně představuje objemovou hustotu dipólových momentů, které se v přítomnosti elektrického pole natáčejí do jeho směru, aby snížily svou potenciální energii.

[1] Pankrác, V. Přednášky k předmětům X(D)17TEP a X(D)17VVE. Dostupné ZDE resp. ZDE.
[2] Numerické simulace elektromagnetického pole
[3] Novotný, K. Teorie elektromagnetického pole I. Skripta, ČVUT-FEL.

— Miloslav Čapek 2009/10/13 16:59